Moving average process in time series

Pengantar ARIMA: model nonseasonal Persamaan peramalan ARIMA (p, d, q): Model ARIMA adalah, secara teori, kelas model paling umum untuk meramalkan deret waktu yang dapat dibuat menjadi 8220stationary8221 dengan membedakan (jika perlu), mungkin Dalam hubungannya dengan transformasi nonlinier seperti logging atau deflating (jika perlu). Variabel acak yang merupakan deret waktu bersifat stasioner jika sifat statistiknya konstan sepanjang waktu. Seri stasioner tidak memiliki tren, variasinya berkisar rata-rata memiliki amplitudo konstan, dan bergoyang secara konsisten. Yaitu pola waktu acak jangka pendeknya selalu terlihat sama dalam arti statistik. Kondisi terakhir ini berarti autokorelasinya (korelasi dengan penyimpangannya sendiri dari mean) tetap konstan dari waktu ke waktu, atau ekuivalen, bahwa spektrum kekuatannya tetap konstan seiring berjalannya waktu. Variabel acak dari bentuk ini dapat dilihat (seperti biasa) sebagai kombinasi antara sinyal dan noise, dan sinyal (jika ada) dapat menjadi pola pengembalian cepat atau lambat, atau osilasi sinusoidal, atau alternasi cepat pada tanda , Dan itu juga bisa memiliki komponen musiman. Model ARIMA dapat dilihat sebagai model 8220filter8221 yang mencoba memisahkan sinyal dari noise, dan sinyal tersebut kemudian diekstrapolasikan ke masa depan untuk mendapatkan perkiraan. Persamaan peramalan ARIMA untuk rangkaian waktu stasioner adalah persamaan linier (yaitu regresi-tipe) dimana prediktor terdiri dari kelambatan variabel dependen dan atau lag dari kesalahan perkiraan. Yaitu: Prediksi nilai Y adalah konstanta dan atau jumlah tertimbang dari satu atau lebih nilai Y dan satu angka tertimbang dari satu atau lebih nilai kesalahan terkini. Jika prediktor hanya terdiri dari nilai Y yang tertinggal, itu adalah model autoregresif murni (8220 self-regressed8221), yang hanyalah kasus khusus dari model regresi dan yang dapat dilengkapi dengan perangkat lunak regresi standar. Sebagai contoh, model autoregresif orde pertama (8220AR (1) 8221) untuk Y adalah model regresi sederhana dimana variabel independennya hanya Y yang tertinggal satu periode (LAG (Y, 1) dalam Statgrafik atau YLAG1 dalam RegresIt). Jika beberapa prediktor tertinggal dari kesalahan, model ARIMA TIDAK merupakan model regresi linier, karena tidak ada cara untuk menentukan error8221 8220last periodier178 sebagai variabel independen: kesalahan harus dihitung berdasarkan periode-ke-periode Saat model dipasang pada data. Dari sudut pandang teknis, masalah dengan menggunakan kesalahan tertinggal sebagai prediktor adalah bahwa prediksi model8217 bukanlah fungsi linear dari koefisien. Meskipun mereka adalah fungsi linier dari data masa lalu. Jadi, koefisien pada model ARIMA yang mencakup kesalahan tertinggal harus diestimasi dengan metode optimasi nonlinier (8220 climb-climbing8221) daripada hanya dengan memecahkan sistem persamaan. Akronim ARIMA adalah singkatan Auto-Regressive Integrated Moving Average. Lags dari rangkaian stasioner dalam persamaan peramalan disebut istilah quotautoregressivequot, kelambatan kesalahan perkiraan disebut istilah kuotasi rata-rata quotmoving average, dan deret waktu yang perlu dibedakan untuk dijadikan stasioner disebut versi seri integimental dari seri stasioner. Model random-walk dan random-trend, model autoregresif, dan model pemulusan eksponensial adalah kasus khusus model ARIMA. Model ARIMA nonseasonal diklasifikasikan sebagai model quotARIMA (p, d, q) quot, di mana: p adalah jumlah istilah autoregresif, d adalah jumlah perbedaan nonseasonal yang diperlukan untuk stasioneritas, dan q adalah jumlah kesalahan perkiraan yang tertinggal dalam Persamaan prediksi Persamaan peramalan dibangun sebagai berikut. Pertama, izinkan y menunjukkan perbedaan D dari Y. yang berarti: Perhatikan bahwa perbedaan kedua Y (kasus d2) bukanlah selisih 2 periode yang lalu. Sebaliknya, ini adalah perbedaan pertama-perbedaan-dari-pertama. Yang merupakan analog diskrit turunan kedua, yaitu akselerasi lokal dari seri daripada tren lokalnya. Dalam hal y. Persamaan peramalan umum adalah: Disini parameter rata-rata bergerak (9528217s) didefinisikan sehingga tanda-tanda mereka negatif dalam persamaan, mengikuti konvensi yang diperkenalkan oleh Box dan Jenkins. Beberapa penulis dan perangkat lunak (termasuk bahasa pemrograman R) mendefinisikannya sehingga mereka memiliki tanda plus. Bila nomor aktual dicolokkan ke dalam persamaan, tidak ada ambiguitas, tapi penting untuk mengetahui konvensi mana yang digunakan perangkat lunak Anda saat Anda membaca hasilnya. Seringkali parameter dilambangkan dengan AR (1), AR (2), 8230, dan MA (1), MA (2), 8230 dll. Untuk mengidentifikasi model ARIMA yang sesuai untuk Y. Anda memulai dengan menentukan urutan differencing (D) perlu membuat stasioner seri dan menghilangkan fitur musiman musiman, mungkin bersamaan dengan transformasi yang menstabilkan varians seperti penebangan atau pengapuran. Jika Anda berhenti pada titik ini dan meramalkan bahwa rangkaian yang berbeda adalah konstan, Anda hanya memiliki model acak berjalan atau acak acak. Namun, rangkaian stationarized masih memiliki kesalahan autokorelasi, menunjukkan bahwa beberapa jumlah istilah AR (p 8805 1) dan beberapa istilah MA (q 8805 1) juga diperlukan dalam persamaan peramalan. Proses penentuan nilai p, d, dan q yang terbaik untuk rangkaian waktu tertentu akan dibahas di bagian catatan selanjutnya (yang tautannya berada di bagian atas halaman ini), namun pratinjau beberapa jenis Model ARIMA nonseasonal yang biasa dijumpai diberikan di bawah ini. ARIMA (1,0,0) model autoregresif orde pertama: jika seri stasioner dan autokorelasi, mungkin dapat diprediksi sebagai kelipatan dari nilai sebelumnya, ditambah konstanta. Persamaan peramalan dalam kasus ini adalah 8230 yang Y regresi pada dirinya sendiri tertinggal oleh satu periode. Ini adalah model konstanta 8220ARIMA (1,0,0) constant8221. Jika mean Y adalah nol, maka istilah konstan tidak akan disertakan. Jika koefisien kemiringan 981 1 positif dan kurang dari 1 besarnya (harus kurang dari 1 dalam besaran jika Y adalah stasioner), model tersebut menggambarkan perilaku rata-rata pada nilai periodisasi berikutnya yang diperkirakan akan menjadi 981 1 kali sebagai Jauh dari mean sebagai nilai periode ini. Jika 981 1 negatif, ia memprediksi perilaku rata-rata dengan alternasi tanda, yaitu juga memprediksi bahwa Y akan berada di bawah rata-rata periode berikutnya jika berada di atas rata-rata periode ini. Dalam model autoregresif orde kedua (ARIMA (2,0,0)), akan ada istilah Y t-2 di sebelah kanan juga, dan seterusnya. Bergantung pada tanda dan besaran koefisien, model ARIMA (2,0,0) bisa menggambarkan sistem yang pembalikan rata-rata terjadi dengan mode sinusoidal oscillating, seperti gerak massa pada pegas yang mengalami guncangan acak. . ARIMA (0,1,0) berjalan acak: Jika seri Y tidak stasioner, model yang paling sederhana untuk model ini adalah model jalan acak, yang dapat dianggap sebagai kasus pembatas model AR (1) dimana autoregresif Koefisien sama dengan 1, yaitu deret dengan reversi mean yang jauh lebih lambat. Persamaan prediksi untuk model ini dapat ditulis sebagai: di mana istilah konstan adalah perubahan periode-ke-periode rata-rata (yaitu drift jangka panjang) di Y. Model ini dapat dipasang sebagai model regresi yang tidak mencegat dimana Perbedaan pertama Y adalah variabel dependen. Karena hanya mencakup perbedaan nonseasonal dan istilah konstan, model ini diklasifikasikan sebagai model quotARIMA (0,1,0) dengan konstan. Model random-walk-without - drift akan menjadi ARIMA (0,1, 0) model tanpa ARIMA konstan (1,1,0) model autoregresif orde satu yang terdesentralisasi: Jika kesalahan model jalan acak diobot dengan autokorelasi, mungkin masalahnya dapat diperbaiki dengan menambahkan satu lag variabel dependen ke persamaan prediksi - - yaitu Dengan mengundurkan diri dari perbedaan pertama Y pada dirinya sendiri yang tertinggal satu periode. Ini akan menghasilkan persamaan prediksi berikut: yang dapat diatur ulang menjadi Ini adalah model autoregresif orde pertama dengan satu urutan perbedaan nonseasonal dan istilah konstan - yaitu. Model ARIMA (1,1,0). ARIMA (0,1,1) tanpa perataan eksponensial sederhana: Strategi lain untuk memperbaiki kesalahan autokorelasi dalam model jalan acak disarankan oleh model pemulusan eksponensial sederhana. Ingatlah bahwa untuk beberapa seri waktu nonstasioner (misalnya yang menunjukkan fluktuasi yang bising di sekitar rata-rata yang bervariasi secara perlahan), model jalan acak tidak berjalan sebaik rata-rata pergerakan nilai masa lalu. Dengan kata lain, daripada mengambil pengamatan terbaru sebagai perkiraan pengamatan berikutnya, lebih baik menggunakan rata-rata beberapa pengamatan terakhir untuk menyaring kebisingan dan memperkirakan secara lebih akurat mean lokal. Model pemulusan eksponensial sederhana menggunakan rata-rata pergerakan rata-rata tertimbang eksponensial untuk mencapai efek ini. Persamaan prediksi untuk model smoothing eksponensial sederhana dapat ditulis dalam sejumlah bentuk ekuivalen matematis. Salah satunya adalah bentuk koreksi yang disebut 8220error correction8221, dimana ramalan sebelumnya disesuaikan dengan kesalahan yang dibuatnya: Karena e t-1 Y t-1 - 374 t-1 menurut definisinya, ini dapat ditulis ulang sebagai : Yang merupakan persamaan peramalan ARIMA (0,1,1) - tanpa perkiraan konstan dengan 952 1 1 - 945. Ini berarti bahwa Anda dapat menyesuaikan smoothing eksponensial sederhana dengan menentukannya sebagai model ARIMA (0,1,1) tanpa Konstan, dan perkiraan koefisien MA (1) sesuai dengan 1-minus-alpha dalam formula SES. Ingatlah bahwa dalam model SES, rata-rata usia data dalam prakiraan 1 periode adalah 1 945. yang berarti bahwa mereka cenderung tertinggal dari tren atau titik balik sekitar 1 945 periode. Dengan demikian, rata-rata usia data dalam prakiraan 1-periode-depan model ARIMA (0,1,1) - tanpa konstan adalah 1 (1 - 952 1). Jadi, misalnya, jika 952 1 0,8, usia rata-rata adalah 5. Karena 952 1 mendekati 1, model ARIMA (0,1,1) - tanpa model konstan menjadi rata-rata bergerak jangka-panjang, dan sebagai 952 1 Pendekatan 0 menjadi model random-walk-without-drift. Apa cara terbaik untuk memperbaiki autokorelasi: menambahkan istilah AR atau menambahkan istilah MA Dalam dua model sebelumnya yang dibahas di atas, masalah kesalahan autokorelasi dalam model jalan acak diperbaiki dengan dua cara yang berbeda: dengan menambahkan nilai lag dari seri yang berbeda Ke persamaan atau menambahkan nilai tertinggal dari kesalahan perkiraan. Pendekatan mana yang terbaik Aturan praktis untuk situasi ini, yang akan dibahas lebih rinci nanti, adalah bahwa autokorelasi positif biasanya paling baik ditangani dengan menambahkan istilah AR ke model dan autokorelasi negatif biasanya paling baik ditangani dengan menambahkan MA istilah. Dalam deret waktu bisnis dan ekonomi, autokorelasi negatif sering muncul sebagai artefak differencing. (Secara umum, differencing mengurangi autokorelasi positif dan bahkan dapat menyebabkan perubahan dari autokorelasi positif ke negatif.) Jadi, model ARIMA (0,1,1), di mana perbedaannya disertai dengan istilah MA, lebih sering digunakan daripada Model ARIMA (1,1,0). ARIMA (0,1,1) dengan perataan eksponensial sederhana konstan dengan pertumbuhan: Dengan menerapkan model SES sebagai model ARIMA, Anda benar-benar mendapatkan fleksibilitas. Pertama, perkiraan koefisien MA (1) dibiarkan negatif. Ini sesuai dengan faktor pemulusan yang lebih besar dari 1 dalam model SES, yang biasanya tidak diizinkan oleh prosedur pemasangan model SES. Kedua, Anda memiliki pilihan untuk memasukkan istilah konstan dalam model ARIMA jika Anda mau, untuk memperkirakan tren nol rata-rata. Model ARIMA (0,1,1) dengan konstanta memiliki persamaan prediksi: Prakiraan satu periode dari model ini secara kualitatif serupa dengan model SES, kecuali bahwa lintasan perkiraan jangka panjang biasanya adalah Garis miring (kemiringannya sama dengan mu) bukan garis horizontal. ARIMA (0,2,1) atau (0,2,2) tanpa pemulusan eksponensial linier konstan: Model pemulusan eksponensial linier adalah model ARIMA yang menggunakan dua perbedaan nonseason dalam hubungannya dengan persyaratan MA. Perbedaan kedua dari seri Y bukan hanya perbedaan antara Y dan dirinya tertinggal dua periode, namun ini adalah perbedaan pertama dari perbedaan pertama - i. Perubahan perubahan Y pada periode t. Jadi, perbedaan kedua Y pada periode t sama dengan (Y t - Y t-1) - (Y t-1 - Y t-2) Y t - 2Y t-1 Y t-2. Perbedaan kedua dari fungsi diskrit sama dengan turunan kedua dari fungsi kontinyu: ia mengukur kuotasi kuadrat atau quotcurvaturequot dalam fungsi pada suatu titik waktu tertentu. Model ARIMA (0,2,2) tanpa konstan memprediksi bahwa perbedaan kedua dari rangkaian sama dengan fungsi linier dari dua kesalahan perkiraan terakhir: yang dapat disusun ulang sebagai: di mana 952 1 dan 952 2 adalah MA (1) dan MA (2) koefisien. Ini adalah model pemulusan eksponensial linear umum. Dasarnya sama dengan model Holt8217s, dan model Brown8217s adalah kasus khusus. Ini menggunakan rata-rata pergerakan tertimbang eksponensial untuk memperkirakan tingkat lokal dan tren lokal dalam rangkaian. Perkiraan jangka panjang dari model ini menyatu dengan garis lurus yang kemiringannya bergantung pada tren rata-rata yang diamati menjelang akhir rangkaian. ARIMA (1,1,2) tanpa perataan eksponensial eksponensial yang terfragmentasi. Model ini diilustrasikan pada slide yang menyertainya pada model ARIMA. Ini mengekstrapolasikan tren lokal di akhir seri namun meratakannya pada cakrawala perkiraan yang lebih panjang untuk memperkenalkan catatan konservatisme, sebuah praktik yang memiliki dukungan empiris. Lihat artikel di quotWhy the Damped Trend karyaquot oleh Gardner dan McKenzie dan artikel quotGolden Rulequot oleh Armstrong dkk. Untuk rinciannya. Umumnya disarankan untuk tetap berpegang pada model di mana setidaknya satu dari p dan q tidak lebih besar dari 1, yaitu jangan mencoba menyesuaikan model seperti ARIMA (2,1,2), karena hal ini cenderung menyebabkan overfitting. Dan isu-isu kuotom-faktorquot yang dibahas secara lebih rinci dalam catatan tentang struktur matematis model ARIMA. Implementasi Spreadsheet: Model ARIMA seperti yang dijelaskan di atas mudah diterapkan pada spreadsheet. Persamaan prediksi adalah persamaan linier yang mengacu pada nilai-nilai masa lalu dari rangkaian waktu asli dan nilai kesalahan masa lalu. Dengan demikian, Anda dapat membuat spreadsheet peramalan ARIMA dengan menyimpan data di kolom A, rumus peramalan pada kolom B, dan kesalahan (data minus prakiraan) di kolom C. Rumus peramalan pada sel biasa di kolom B hanya akan menjadi Sebuah ekspresi linier yang mengacu pada nilai-nilai pada baris-kolom sebelumnya dari kolom A dan C, dikalikan dengan koefisien AR atau MA yang sesuai yang tersimpan dalam sel di tempat lain pada spreadsheet. Dalam praktiknya rata-rata bergerak akan memberikan perkiraan yang baik dari rata-rata deret waktu jika Berarti konstan atau perlahan berubah. Dalam kasus mean konstan, nilai m terbesar akan memberikan perkiraan terbaik dari mean yang mendasarinya. Periode pengamatan yang lebih lama akan rata-rata menghasilkan efek variabilitas. Tujuan pemberian m yang lebih kecil adalah memungkinkan perkiraan tersebut merespons perubahan dalam proses yang mendasarinya. Sebagai ilustrasi, kami mengusulkan kumpulan data yang menggabungkan perubahan dalam mean deret deret waktu. Angka tersebut menunjukkan deret waktu yang digunakan untuk ilustrasi bersamaan dengan permintaan rata-rata dari mana seri tersebut dihasilkan. Mean dimulai sebagai konstanta pada 10. Dimulai pada waktu 21, meningkat satu unit pada setiap periode sampai mencapai nilai 20 pada waktu 30. Maka akan menjadi konstan lagi. Data disimulasikan dengan menambahkan mean, noise acak dari distribusi Normal dengan mean nol dan standar deviasi 3. Hasil simulasi dibulatkan ke bilangan bulat terdekat. Tabel menunjukkan simulasi pengamatan yang digunakan untuk contoh. Saat kita menggunakan tabel, kita harus ingat bahwa pada suatu waktu, hanya data terakhir yang diketahui. Estimasi parameter model,, untuk tiga nilai m yang berbeda ditunjukkan bersamaan dengan mean deret waktu pada gambar di bawah ini. Angka tersebut menunjukkan perkiraan rata-rata pergerakan rata-rata pada setiap waktu dan bukan perkiraan. Prakiraan akan menggeser kurva rata-rata bergerak ke kanan menurut periode. Satu kesimpulan segera terlihat dari gambar tersebut. Untuk ketiga perkiraan, rata-rata bergerak tertinggal dari tren linier, dengan lag meningkat dengan m. Keterlambatan adalah jarak antara model dan estimasi dalam dimensi waktu. Karena lag, rata-rata bergerak meremehkan pengamatan karena rata-rata meningkat. Bias estimator adalah perbedaan pada waktu tertentu dalam nilai rata-rata model dan nilai rata-rata yang diprediksi oleh moving average. Bias ketika mean meningkat adalah negatif. Untuk mean yang menurun, biasnya positif. Keterlambatan waktu dan bias yang diperkenalkan dalam estimasi adalah fungsi m. Semakin besar nilai m. Semakin besar besarnya lag dan bias. Untuk seri yang terus meningkat dengan tren a. Nilai lag dan bias estimator mean diberikan dalam persamaan di bawah ini. Kurva contoh tidak sesuai dengan persamaan ini karena contoh model tidak terus meningkat, melainkan dimulai sebagai perubahan konstan, berubah menjadi tren dan kemudian menjadi konstan lagi. Juga contoh kurva dipengaruhi oleh noise. Perkiraan rata-rata pergerakan periode ke masa depan ditunjukkan dengan menggeser kurva ke kanan. Kelemahan dan bias meningkat secara proporsional. Persamaan di bawah ini menunjukkan lag dan bias dari perkiraan periode ke masa depan bila dibandingkan dengan parameter model. Sekali lagi, formula ini untuk rangkaian waktu dengan tren linier konstan. Kita tidak perlu heran dengan hasil ini. Pengukur rata-rata bergerak didasarkan pada asumsi mean konstan, dan contohnya memiliki kecenderungan linier dalam mean selama sebagian periode penelitian. Karena deret real time jarang sekali menaati asumsi model apapun, kita harus siap untuk hasil seperti itu. Kita juga dapat menyimpulkan dari gambar bahwa variabilitas noise memiliki efek terbesar untuk m yang lebih kecil. Estimasi ini jauh lebih fluktuatif untuk rata-rata pergerakan 5 dari moving average 20. Kami memiliki keinginan yang saling bertentangan untuk meningkatkan m untuk mengurangi efek variabilitas akibat kebisingan, dan untuk menurunkan m untuk membuat perkiraan lebih responsif terhadap perubahan. Berarti. Kesalahan adalah perbedaan antara data aktual dan nilai perkiraan. Jika deret waktu benar-benar nilai konstan maka nilai kesalahan yang diharapkan adalah nol dan varians dari kesalahan tersebut terdiri dari sebuah istilah yang merupakan fungsi dari dan istilah kedua yaitu variansi dari noise,. Istilah pertama adalah varians dari mean yang diperkirakan dengan sampel pengamatan m, dengan mengasumsikan data berasal dari populasi dengan mean konstan. Istilah ini diminimalkan dengan membuat m seluas mungkin. Sebuah m besar membuat ramalan tidak responsif terhadap perubahan deret waktu yang mendasarinya. Untuk membuat perkiraan responsif terhadap perubahan, kami ingin m sekecil mungkin (1), namun ini meningkatkan varians kesalahan. Peramalan praktis membutuhkan nilai antara. Peramalan dengan Excel Peramalan peramalan menerapkan rumus rata-rata bergerak. Contoh di bawah ini menunjukkan analisis yang diberikan oleh add-in untuk data sampel di kolom B. 10 pengamatan pertama diindeks -9 sampai 0. Dibandingkan dengan tabel di atas, indeks periode digeser oleh -10. Sepuluh observasi pertama memberikan nilai awal untuk estimasi dan digunakan untuk menghitung rata-rata pergerakan untuk periode 0. Kolom MA (10) (C) menunjukkan rata-rata bergerak yang dihitung. Parameter rata-rata bergerak m adalah di sel C3. Kolom Fore (1) (D) menunjukkan perkiraan untuk satu periode ke masa depan. Interval perkiraan ada di sel D3. Bila interval perkiraan diubah ke angka yang lebih besar, angka-angka di kolom Fore digeser ke bawah. Kolom Err (1) menunjukkan perbedaan antara pengamatan dan perkiraan. Misalnya, pengamatan pada waktu 1 adalah 6. Nilai perkiraan yang dibuat dari moving average pada waktu 0 adalah 11.1. Kesalahannya adalah -5.1. Standar deviasi dan Mean Average Deviation (MAD) dihitung masing-masing sel E6 dan E7.2.1 Model Bergerak Rata-rata (model MA) Model rangkaian waktu yang dikenal sebagai model ARIMA dapat mencakup istilah autoregresif dan atau istilah rata-rata bergerak. Pada minggu ke 1, kita belajar istilah autoregressive dalam model time series untuk variabel x t adalah nilai lag dari x t. Misalnya, lag 1 autoregressive term adalah x t-1 (dikalikan dengan koefisien). Pelajaran ini mendefinisikan istilah rata-rata bergerak. Istilah rata-rata bergerak dalam model time series adalah kesalahan masa lalu (dikalikan dengan koefisien). Misalkan (wt overset N (0, sigma2w)), yang berarti bahwa w t identik, didistribusikan secara independen, masing-masing dengan distribusi normal memiliki mean 0 dan varian yang sama. Model rata-rata bergerak urutan 1, dilambangkan dengan MA (1) adalah (xt mu wt theta1w) Model rata-rata bergerak urutan 2 yang dinotasikan dengan MA (2) adalah (xt mu wt theta1w theta2w) Model rata-rata pergerakan harga th q th , Dilambangkan dengan MA (q) adalah (xt mu wt theta1w theta2w titik thetaqw) Catatan. Banyak buku teks dan program perangkat lunak menentukan model dengan tanda negatif sebelum persyaratan. Ini tidak mengubah sifat teoritis umum dari model, meskipun ia membalik tanda aljabar dari nilai koefisien perkiraan dan (unsquared) terms dalam formula untuk ACF dan varians. Anda perlu memeriksa perangkat lunak Anda untuk memverifikasi apakah tanda negatif atau positif telah digunakan untuk menuliskan model perkiraan dengan benar. R menggunakan tanda-tanda positif pada model dasarnya, seperti yang kita lakukan di sini. Sifat Teoritis dari Seri Waktu dengan Model MA (1) Perhatikan bahwa satu-satunya nilai nol pada ACF teoritis adalah untuk lag 1. Semua autokorelasi lainnya adalah 0. Jadi sampel ACF dengan autokorelasi signifikan hanya pada lag 1 adalah indikator dari model MA (1) yang mungkin. Bagi siswa yang tertarik, bukti sifat ini adalah lampiran untuk handout ini. Contoh 1 Misalkan model MA (1) adalah x t 10 w t .7 w t-1. Dimana (wt overset N (0,1)). Dengan demikian koefisiennya 1 0,7. ACF teoritis diberikan oleh sebidang ACF berikut. Plot yang baru saja ditunjukkan adalah ACF teoritis untuk MA (1) dengan 1 0,7. Dalam prakteknya, contoh biasanya akan memberikan pola yang jelas. Dengan menggunakan R, kita mensimulasikan n 100 nilai sampel menggunakan model x t 10 w t .7 w t-1 dimana w t iid N (0,1). Untuk simulasi ini, plot time series dari data sampel berikut. Kami tidak tahu banyak dari plot ini. Contoh ACF untuk data simulasi berikut. Kita melihat lonjakan pada lag 1 diikuti oleh nilai-nilai non-signifikan secara umum untuk kelambatan masa lalu 1. Perhatikan bahwa sampel ACF tidak sesuai dengan pola teoritis MA yang mendasarinya, yaitu bahwa semua autokorelasi untuk kelambatan 1 akan menjadi 0 Sampel yang berbeda akan memiliki sampel ACF yang sedikit berbeda yang ditunjukkan di bawah ini, namun kemungkinan memiliki fitur luas yang sama. Sifat Teori dari Seri Waktu dengan Model MA (2) Untuk model MA (2), sifat teoretis adalah sebagai berikut: Perhatikan bahwa satu-satunya nilai tak-nol dalam ACF teoritis adalah untuk lags 1 dan 2. Autokorelasi untuk kelambatan yang lebih tinggi adalah 0 Jadi, sampel ACF dengan autokorelasi signifikan pada kelambatan 1 dan 2, namun autokorelasi yang tidak signifikan untuk kelambatan yang lebih tinggi mengindikasikan model MA (2) yang mungkin. Iid N (0,1). Koefisiennya adalah 0,5 dan 0,3. Karena ini adalah MA (2), ACF teoritis akan memiliki nilai tak-nol hanya pada kelambatan 1 dan 2. Nilai dari kedua autokorelasi tak-nol adalah sebidang ACF teoritis berikut. Seperti yang hampir selalu terjadi, sampel data tidak akan berperilaku sangat sempurna seperti teori. Kami mensimulasikan n 150 nilai sampel untuk model x t 10 w t .5 w t-1, 3 w t-2. Dimana w t iid N (0,1). Plot seri waktu dari data berikut. Seperti halnya plot seri waktu untuk data sampel MA (1), Anda tidak tahu banyak tentangnya. Contoh ACF untuk data simulasi berikut. Pola ini khas untuk situasi di mana model MA (2) mungkin berguna. Ada dua lonjakan yang signifikan secara statistik pada lag 1 dan 2 diikuti oleh nilai non-signifikan untuk kelambatan lainnya. Perhatikan bahwa karena kesalahan sampling, sampel ACF tidak sesuai dengan pola teoritisnya. ACF untuk General MA (q) Model Properti dari model MA (q) secara umum adalah bahwa ada autokorelasi tak-nol untuk q lags pertama dan autokorelasi 0 untuk semua lags gt q. Non-keunikan hubungan antara nilai 1 dan (rho1) pada MA (1) Model. Dalam model MA (1), untuk nilai 1. Timbal balik 1 1 memberikan nilai yang sama untuk Sebagai contoh, gunakan 0,5 untuk 1. Dan kemudian gunakan 1 (0.5) 2 untuk 1. Anda akan mendapatkan (rho1) 0,4 dalam kedua contoh. Untuk memenuhi batasan teoritis yang disebut invertibilitas. Kami membatasi model MA (1) untuk memiliki nilai dengan nilai absolut kurang dari 1. Pada contoh yang diberikan, 1 0,5 akan menjadi nilai parameter yang diijinkan, sedangkan 1 10,5 2 tidak akan. Keterbacaan model MA Model MA dikatakan dapat dibalikkan jika secara aljabar setara dengan model AR tak berhingga yang terkuak. Dengan konvergensi, berarti koefisien AR turun menjadi 0 saat kita bergerak mundur. Invertibilitas adalah pembatasan yang diprogram dalam perangkat lunak time series yang digunakan untuk memperkirakan koefisien model dengan persyaratan MA. Ini bukan sesuatu yang kita periksa dalam analisis data. Informasi tambahan tentang batasan invertibilitas untuk model MA (1) diberikan dalam lampiran. Catatan Teori Lanjutan Untuk model MA (q) dengan ACF tertentu, hanya ada satu model yang dapat dibalik. Kondisi yang diperlukan untuk invertibilitas adalah bahwa koefisien memiliki nilai sedemikian rupa sehingga persamaan 1- 1 y-. - q y q 0 memiliki solusi untuk y yang berada di luar lingkaran unit. Kode R untuk Contoh-Contoh Pada Contoh 1, kami menyusun model teoritis ACF dari model x t 10 w t. 7w t-1. Dan kemudian disimulasikan n 150 nilai dari model ini dan diplotkan time series sampel dan sampel ACF untuk data simulasi. Perintah R yang digunakan untuk merencanakan ACF teoritis adalah: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 lag dari ACF untuk MA (1) dengan theta1 0.7 lags0: 10 menciptakan variabel yang disebut lags yang berkisar dari 0 sampai 10. plot (Lags, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF utama untuk MA (1) dengan theta1 0.7) abline (h0) menambahkan sumbu horizontal ke plot Perintah pertama menentukan ACF dan menyimpannya dalam objek Bernama acfma1 (pilihan nama kami). Perintah plot (perintah ke-3) cenderung tertinggal dibandingkan nilai ACF untuk lags 1 sampai 10. Parameter ylab memberi label sumbu y dan parameter utama menempatkan sebuah judul pada plot. Untuk melihat nilai numerik ACF cukup gunakan perintah acfma1. Simulasi dan plot dilakukan dengan perintah berikut. Xcarima. sim (n150, list (mac (0.7))) Simulasikan n 150 nilai dari MA (1) xxc10 menambahkan 10 untuk membuat mean 10. Simulasi default berarti 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF untuk data sampel simulasi) Pada Contoh 2, kami merencanakan teoritis ACF dari model xt 10 wt .5 w t-1, 3 w t-2. Dan kemudian disimulasikan n 150 nilai dari model ini dan diplotkan time series sampel dan sampel ACF untuk data simulasi. Perintah R yang digunakan adalah acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF utama untuk MA (2) dengan theta1 0.5, Theta20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, list (mac (0.5, 0.3))) xxc10 plot (x, typeb, seri Simulated MA (2)) acf (x, xlimc (1,10) MainACF untuk simulasi MA (2) Data) Lampiran: Bukti Sifat MA (1) Bagi siswa yang berminat, berikut adalah bukti sifat teoritis model MA (1). Varians: teks (teks teks (xt) teks (wt theta1 w) 0 teks (wt) teks (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Bila h 1, ungkapan sebelumnya 1 w 2. Untuk h 2, ungkapan sebelumnya 0 Alasannya adalah bahwa, dengan definisi independensi wt. E (w k w j) 0 untuk setiap k j. Selanjutnya, karena meannya 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Untuk seri waktu, Terapkan hasil ini untuk mendapatkan ACF yang diberikan di atas. Model MA yang dapat dibalik adalah salah satu yang dapat ditulis sebagai model AR berurutan tak terbatas yang menyatu sehingga koefisien AR bertemu ke 0 saat kita bergerak mundur jauh waktu. Nah, mendifinisikan invertibilitas model MA (1). Kita kemudian mengganti hubungan (2) untuk w t-1 dalam persamaan (1) (3) (zt wt theta1 (z-theta1w) dengan theta1z-theta2w) Pada waktu t-2. Persamaan (2) menjadi Kami kemudian mengganti hubungan (4) untuk w t-2 dalam persamaan (3) (zt wt theta1 z-theta21w wta theta1z-theta21w wt theta1z - theta12z theta31w) Jika kita melanjutkan ( Tak terbatas), kita akan mendapatkan model AR tak berhingga (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z dots) Namun perlu dicatat bahwa jika 1 1, koefisien yang mengalikan kelambatan z akan meningkat (tak terbatas) jika kita bergerak kembali waktu. Untuk mencegah hal ini, kita membutuhkan 1 lt1. Ini adalah kondisi untuk model MA (1) yang dapat dibalik. Model MA Order Tak Terhingga Pada minggu ke 3, perhatikan bahwa model AR (1) dapat dikonversi menjadi model MA pesanan tak terbatas: (xt - mu wt phi1w phi21w titik phik1 w titik jumlah phij1w) Penjumlahan istilah white noise masa lalu ini diketahui. Sebagai representasi kausal AR (1). Dengan kata lain, x t adalah tipe MA khusus dengan jumlah tak terhingga dari istilah yang masuk ke masa lalu. Ini disebut MA tak terbatas atau MA (). Urutan terbatas MA adalah AR tak berhingga dan urutan terbatas AR adalah MA tak terbatas. Ingat di Minggu 1, kami mencatat bahwa persyaratan untuk AR stasioner (1) adalah bahwa 1 lt1. Mari menghitung Var (x t) dengan menggunakan representasi kausal. Langkah terakhir ini menggunakan fakta dasar tentang deret geometris yang membutuhkan (phi1lt1) jika rangkaiannya menyimpang. Navigasi